Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Definition 0.1 (EDO).

Una ecuacion diferencial ordinaria (EDO) es una relacion de la forma

F(x,y(x),y^{\prime}(x),\ldots,y^{(n)}(x))=0

donde $f$ es una funcion prefijada de sus argumentos.

Notacion: $y^{\prime}=y^{\prime}=\frac{dy}{dx}$ , $y^{\prime\prime}=y^{\prime\prime}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ , $\ldots,y^{(n)}(x)=\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$

Ejemplos:

1.

$y^{\prime}-1=0$
2.

$y^{\prime\prime}-3y^{\prime}-1=0$
3.

$(y^{\prime})^{2}+xy^{\prime}-y=0$
4.

$y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=0$

Ordinaria: y solo depende de una variable independiente ( $x$ ).

Definition 0.2 (Solucion).

Una solucion de una EDO es una funcion $y(x)$ que satisface la relacion $F(x,y(x),\ldots,y^{(n)}(x))=0$ .

Example 0.3.

1.

$y=x;y=x-3$
2.

$y=A+Be^{3x}-\frac{1}{3}x$
3.

$y=Cx+C^{2}$
4.

$y=\cos x,y=B\sin x-2e^{x}$

Definition 0.4 (Orden).

El orden de una EDO es el orden de la derivada superior que figura en la ecuacion

Example 0.5.

•

orden = 1
•

orden = 2
•

orden = 1
•

orden = 4

Definition 0.6.

La solucion general de una ecuacion diferencial de orden $n$ es una familia de soluciones que dependen de $n$ constantes arbitrarias.

Example 0.7.

Para los ejemplos anteriores, tenemos como solucion general:

•

$y=x+C$
•

$y=A+Be^{3x}-\frac{1}{3}x$
•

$y=Cx+C^{2}$
•

$y=A\cos x+B\sin x+Ce^{x}$

con $A,B,C$ constantes arbitrarias.

Definition 0.8.

Una solucion particular de una EDO es una solucion que se puede obtener desde la solucion general, dando valores particulares a algunas de las constantes arbitrarias de las que depende esta ultima, o especificando relaciones entre ellas.

dsasda algunass dandoa

assdasd

algunassasd

algunass

las edos