24 Polinomio de Taylor

Definition 24.1.

Sea $f$ una función $n$ veces derivable en $x_{0}$ . Llamamos polinomio de Taylor de grado $n$ de $f$ en $x_{0}$ al unico polinomio $p(x)$ que cumpla que:

p(x_{0})=f(x_{0}),p^{\prime}(x_{0})=f^{\prime}(x_{0}),\ldots,p^{(n)}(x_{0})=f^% {(n)}(x_{0})

Veamos cuál es: dado un polinomio general de grado $n$ ,

p(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+\cdots+a_{n}(x-x_{0})^{n}

1.

$p(x_{0})=f(x_{0})$ . Si evaluamos el polinomio, $p(x_{0})=a_{0}+a_{1}(x_{0}-x_{0})+\cdots a_{n}(x_{0}-x_{0})^{n}=a_{0}% \Rightarrow a_{0}=f(x_{0})$ .
2.

$p^{\prime}(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})\Rightarrow p^{\prime}(x)=0+a_{1}+a_{2}% \cdot 2(x-x_{0})+\cdots+a_{n}n(x-x_{0})^{n-1}$ . Como $p^{\prime}(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})$ , $p^{\prime}(x_{0})=a_{1}=f^{\prime}(x_{0})$ .
3.

$p^{\prime\prime}(x_{0})=f^{\prime\prime}$ . $p^{\prime\prime}(x)=a_{2}2+a_{3}\cdot 3\cdot 2\cdot(x-x_{0})+\cdots+a_{n}\cdot n% \cdot(n-1)\cdot(x-x_{0})^{n-2}$ . Evaluando en $x_{0},$ $p^{\prime\prime}(x_{0})=a_{2}\cdot 2\Rightarrow a_{2}=f^{\prime\prime}(x_{0})/2$ .
4.

$p^{\prime\prime\prime}(x)=a_{3}\cdot 3\cdot 2+a_{4}\cdot 3\cdot 3\cdot 2(x-x_{% 0})+\cdots+a_{n}\cdot n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(x-x_{0})^{n-3}\Rightarrow p^{% \prime\prime\prime}(x_{0})=a_{3}\cdot 3\cdot 2$ .
5.

Lo hacemos hasta llegar a la derivada $n$ -esima: $p^{(n)}(x_{0})=f^{(n)(x_{0})}\Rightarrow a_{n}\cdot n!=f^{(n)}(x_{0})% \Rightarrow a_{n}=\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$ .

Luego el polinomio de Taylor de grado $n$ de $f$ en $x_{0}$ es:

P_{n,x_{0},f}(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f^{\prime\prime}(x_% {0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\frac{f^{\prime\prime\prime}(x_{0})}{3!}(x-x_{0})^{3}=% \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}

Por ejemplo, el polinomio de grado $3$ de $f(x)=\sin x$ en el $0$ :

P_{3,0,f}(x)=f(0)+f^{\prime}(0)(x-0)+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}(x-0)^{2}+% \frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}(x-0)^{3}=x-\frac{1}{6}x^{3}

ya que $f(0)=\sin 0=0$ , $f^{\prime}(x)=\cos x\Rightarrow f^{\prime}(0)=1$ , $f^{\prime\prime}(x)=-\sin x\Rightarrow f^{\prime\prime}(0)=0$ , $f^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos x\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(0)=-1$ .

Cuánto vale $\sin 1?\Rightarrow P(1)\approx\sin 1$ .

P(x)=x-\frac{x^{3}}{6}\Rightarrow p(1)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}

El error obtenido es: $E=\left|p(1)-\sin 1\right|=\left|\frac{5}{6}-\sin 1\right|$

Theorem 24.2.

Sea $f\in\mathscr{C}^{n+1}([a,b])$ (derivable $n+1$ veces y todas las derivadas son continuas). Entonces, para $x,x_{0}\in[a,b]$ , $x\neq x_{0}$ , existe un $c$ entre $x$ , $x_{0}$ tal que

f(x)=P_{n,x_{0},f}(x)+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n+1}.

Proof 24.3.

Sea $x,x_{0}\in[a,b]$ con $x\neq x_{0}$ . Definimos la siguiente funcion:

F(t)=f(x)-f(t)-f^{\prime}(t)(x-t)-\cdots-f^{(n)}(t)\frac{(x-t)^{n}}{n!}

con $t\in(x,x_{0})\vee(x_{0},x)$ .

•

$F(x_{0})=f(x)-P_{n,t,f}(x)$ .

Definimos tambien $G(t)=F(t)-(\frac{x-t}{x-x_{0}})^{n+1}F(x_{0})$

•

$G$ es continua en $[x,x_{0}]$ (o $[x_{0},x]$ ) ya que $f\in\mathscr{C}^{n+1}([a,b])$ .
•

$G$ es derivable en $(x,x_{0})$ o $(x_{0},x)$ ya que $f\in\mathscr{C}^{n}([a,b])$ y $f$ es $n+1$ derivable en $[a,b]$ .

Tenemos que:

G(x)=F(x)-(\frac{x-x}{x-x_{0}})^{n+1}F(x_{0})=F(x)

G(x_{0})=F(x_{0})-(\frac{x-x_{0}}{x-x_{0}})^{n+1}\cdot F(x_{0})=0

Veamos cuanto vale $F(x)$ :

F(x)=f(x)-f(x)-f^{\prime}(t)(x-x)-\cdots-f^{(n)}(x)\frac{(x-x)^{n}}{n!}=0

Por tanto, $\begin{cases}G(x)=F(x)=0\\ G(x_{0})=0\end{cases}\Rightarrow G(x)=G(x_{0})=0$

Por el teorema de Rolle, $\exists c\in(x,x_{0})$ o $(x_{0},x)$ tal que $G^{\prime}(c)=0$ , es decir,

G^{\prime}(t)=F^{\prime}(t)-\frac{F(x_{0})}{(x-x_{0})^{n+1}}\cdot(n+1)(x-t)^{n% }(-1)

Cuánto vale $F^{\prime}(t)$ ?

F^{\prime}(t)=-f^{\prime}(t)-f^{(2)}(t)(x-t)-\frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^{2}-% \frac{f^{(4)}(t)}{3!}(x-t)^{3}-\cdots\ \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}=\\ =-f^{\prime}(t)-f^{\prime}(t)(-1)-\frac{f^{(2)}(t)}{2!}2(x-t)(-1)-\cdots-\frac% {f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^{n-1}(-1)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}

Por tanto,

G^{\prime}(t)=\frac{-f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}-\frac{F(x_{0})(n+1)(x-t)^{n}}{% (x-x_{0})^{n+1}}(-1)

Luego

0=G^{\prime}(c)=\frac{-f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^{n}+\frac{F(x_{0})(n+1)(x-c)^{n}% }{(x-x_{0})^{n+1}}\Rightarrow F(x_{0})=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n% +1}

Además, hemos visto antes que $F(x_{0})=f(x)-P_{n,x_{0},f}(x)$ . Luego $f(x)=P_{n,x_{0},f}(x)+F(x_{0})$ .

Example 24.4.

Aproximar $\sin(1)$ con el polinomio de Taylor de grado $3$ de la funcion $\sin x$ centrado en el $x_{0}=0$ . Ademas, proporciona una cota optima para el error cometido.

P_{3,0,\sin x}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}\Rightarrow\sin 1\approx 1-\frac{1}{6}=0.8333

El error cometido es: Error $=\sin 1-P_{3,0,\sin x}(1)=\frac{\sin(c)}{4!}(1-0)^{4}$ con $c\in(0,1)$ .

Por tanto,

\left|\text{Error }\right|\leq\left|\frac{\sin(c)}{4!}(1-0)^{4}\right|\leq% \frac{1}{24}.

Nos gustaria resolver $\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)\cdot h(x)}{g(x)}$ , sabiendo que $f(x)\approx P_{n,x_{0},f}(x)=\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$ .

Por ejemplo,

•

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\frac{\sin(c)% }{2!}x^{2}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}1-\frac{\sin c}{2!}x=1$ .
•

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{% \frac{3}{3!}x^{3}+\text{Error}}{x^{3}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}+\lim% \limits_{x\to 0}\frac{\text{Error}}{x^{3}}=\frac{1}{2}$ ya que $\tan x-\sin x\approx 3x^{3}$ (polinomio de Taylor de grado $3$ en $0$ ).

$f(0)=\tan 0-\sin 0=0$ , $f^{\prime}(x)=1+\tan^{2}x-\cos x\Rightarrow f^{\prime}(0)=1+0-1=0$ , $f^{(2)}(x)=2\tan x(1+\tan^{2}x)+\sin x\Rightarrow f^{(2)}(0)=0$ , $f^{(3)}(x)=2[(1+\tan^{2}x)(1+\tan^{2}x)+\tan x(2\tan x(1+\tan^{2}x))]+\cos x% \Rightarrow f^{(3)}(0)=2+1\neq 0$ .

$\text{Error}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(x-x_{0})^{n+1}}=\frac{f^{(4)}(c)}{(x-x_{0})^% {4}}$ . Por otro lado, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{f^{(4)}(c)}{4!}x^{4}}{x^{3}}=\lim\limits_{x\to 0% }\frac{f^{(4)}(c)}{4!}\cdot x=0$ porque $c\in(0,x)$ .

Entonces, siguiendo esta idea:

\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)\cdot h(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_{0}}% \frac{f(x)}{(x-x_{0})^{n}}\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{(x-x_{0})^{n}\cdot h(x% )}{g(x)}=\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\cdot\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{(x-x_{0})% ^{n}\cdot h(x)}{g(x)}

ya que $\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\lim\limits_{x\to x_{0}}% \frac{\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+\text{Error}}{(x-x_{0})^{n}}=% \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$ .

Decimos que $\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$ es el infinitesimo equivalente de $f$ cuando $x$ tiende a $x_{0}$ .

Example 24.5.

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}$

$f(0)=\tan 0=0$ ,

$f^{\prime}(x)=1+\tan^{2}x\Rightarrow f^{\prime}(0)=1\Rightarrow\frac{f^{\prime% }(0)}{1!}x=x$

Luego $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{x}=\lim% \limits_{x\to 0}1=1$ .

Example 24.6.

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-x}% {x^{3}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{0}{x^{3}}=\lim\limits_{x\to 0}0=0$ . Esto esta MAL.